Divergencijos skaičiuotuvas

Autorius: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Divergencijos skaičiuotuvas

Apskaičiuokite vektoriaus lauko divergenciją. Divergencija matuoja, kaip greitai „tankis“ išeina iš tam tikros erdvės srities, ir yra pagrindinė vektorinio skaičiavimo sąvoka.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Vektoriaus lauko įvestis

Rodymo parinktys

Apie divergenciją

Divergencija yra skaliarinis dydis, matuojantis vektorinio lauko tendenciją "tekėti" nuo taško arba link taško. Ji žymima ∇·F (del taškas F) arba div F.

Matematinis apibrėžimas:

Vektoriniam laukui F = (F₁, F₂, F₃) 3D Dekarto koordinatėse divergencija apibrėžiama taip:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
Fizinė interpretacija:

Divergencija matuoja grynąjį lauko srautą iš mažo tūrio aplink tašką. Tam tikrame taške:

  • Teigiama divergencija: laukas teka į išorę (šaltinis)
  • Neigiama divergencija: laukas teka į vidų (kriauklė)
  • Nulinė divergencija: laukas neturi grynojo srauto į išorę ar vidų (nesuspaudžiamas)
Divergencija skirtingose koordinačių sistemose:

Dekarto koordinatės (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Cilindrinės koordinatės (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

Sferinės koordinatės (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
Taikymas:
  • Elektromagnetizmas: Gauso dėsnis sieja elektrinio lauko divergenciją su krūvio tankiu
  • Skysčių dinamika: Greičio lauko divergencija rodo skysčių suspaudžiamumą
  • Šilumos perdavimas: Šilumos srauto divergencija apibūdina šilumos šaltinius ar kriaukles
  • Kvantinė mechanika: Srovės tankio divergencija susijusi su krūvio tvermės dėsniu

Kas yra divergencijos skaičiuotuvas?

Divergencijos skaičiuotuvas yra interaktyvus įrankis, padedantis apskaičiuoti vektorinio lauko divergenciją 2D arba 3D erdvėje. Divergencija yra vektorinės analizės sąvoka, rodanti, kiek vektorinis laukas tam tikrame taške išsiskleidžia arba susitraukia. Šis įrankis palaiko Dekarto, cilindrines ir sferines koordinačių sistemas.

Jis ypač naudingas studentams, inžinieriams ir visiems, dirbantiems su fizikiniais laukais, tokiais kaip skysčių tėkmė, elektromagnetizmas ar termodinamika.

Divergencijos formulė Dekarto koordinatėse:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Pagrindinės savybės

  • Palaiko 2D ir 3D vektorinius laukus
  • Pasirinkite tarp Dekarto, cilindrinių ir sferinių koordinačių
  • Galimybė įvertinti divergenciją konkrečiame taške
  • Žingsnis po žingsnio dalinių išvestinių skaidymas
  • Galimybė supaprastinti rezultatus ir valdyti dešimtainį tikslumą

Kaip naudotis skaičiuotuvu

  1. Pasirinkite matmenų skaičių (2D arba 3D).
  2. Pasirinkite koordinačių sistemą, atitinkančią jūsų uždavinį.
  3. Įveskite vektorinio lauko komponentus (pvz., F₁, F₂, F₃).
  4. Pasirinktinai įjunkite „Įvertinti taške“ parinktį, kad apskaičiuotumėte konkrečiame taške.
  5. Jei reikia, pakoreguokite rodymo nustatymus, pvz., dešimtainių skaičių kiekį arba kampų vienetus.
  6. Spustelėkite Apskaičiuoti divergenciją, kad pamatytumėte rezultatus ir pasirinktinai sprendimo žingsnius.

Kodėl tai naudinga?

Suprasti divergenciją padeda interpretuoti, kaip laukas elgiasi erdvėje. Šis įrankis leidžia:

  • Vizualiai ir tiksliai apskaičiuoti divergenciją
  • Tirti lauko elgseną fizikoje, inžinerijoje ir matematikoje
  • Praktikuoti daugiamatį diferencijavimą ir dalinių išvestinių žingsnius
  • Patikrinti ranka atliktus darbus ar sprendžiant uždavinius

Tai ypač naudinga derinant su tokiais įrankiais kaip Dalinės išvestinės skaičiuotuvas, Kryptinės išvestinės skaičiuotuvas arba Sūkurio skaičiuotuvas, ypač mokantis daugiamatės analizės.

Susiję įrankiai

Šis skaičiuotuvas priklauso matematinių sprendėjų šeimai, kuri apima:

  • Dalinės išvestinės skaičiuotuvas – apskaičiuokite dalines išvestines žingsnis po žingsnio
  • Kryptinės išvestinės skaičiuotuvas – analizuokite vektorinio lauko pokyčius konkrečia kryptimi
  • Antrosios išvestinės skaičiuotuvas – įvertinkite antros eilės pokyčius gilesnei analizei
  • Sūkurio skaičiuotuvas – apskaičiuokite vektorinių laukų sūkurį, kad ištirtumėte sukimosi elgseną

DUK

Kas yra divergencija?
Divergencija matuoja, kiek vektorinis laukas tam tikrame taške išsiskleidžia (teigiama divergencija) arba susitraukia (neigiama divergencija).

Ar šis įrankis gali apskaičiuoti dalines išvestines?
Taip. Šis skaičiuotuvas atlieka daugiamatį diferencijavimą fone, apskaičiuodamas kiekvieno vektorinio lauko komponento dalines išvestines.

Kuo skiriasi Dekarto, cilindrinės ir sferinės koordinatės?
Tai skirtingi būdai apibūdinti padėtį erdvėje. Dekarto naudoja (x, y, z), cilindrinės – (r, θ, z), o sferinės – (ρ, θ, φ). Pasirinkite tą, kuri geriausiai atitinka jūsų lauką ar uždavinį.

Ar turiu įvesti skaičius ar funkcijas?
Galite įvesti išraiškas, pvz., x*y*z, sin(θ) arba r*cos(θ). Skaičiuotuvas tvarko simbolinę matematiką ir, jei reikia, gali įvertinti reikšmes konkrečiuose taškuose.

Ar jis veikia su 2D laukais?
Taip. Tiesiog pasirinkite 2D, ir sąsaja atitinkamai prisitaikys. Trečiasis komponentas pašalinamas.

Ar galiu mokytis iš žingsnių?
Žinoma. Jei įjungta parinktis „Rodyti sprendimo žingsnius“, įrankis išskaido, kaip apskaičiuojamos dalinės išvestinės ir kaip jos sujungiamos į galutinę divergencijos išraišką.